对泰斯公式及有关问题的讨论

1.泰斯公式反映的降深变化规律

将式（4-1）改为无量纲降深形式：

地下水动力学

并绘如图4-3所示曲线。

图4-3 无量纲降深与u函数关系曲线

1）图4-3表明，同一时刻（t固定）随r增大s变小。当r→∞时s→0，与假设条件相符。

2）当r固定时，t增加s增大，当t为0时，s为0，符合实际情况。随t增加漏斗逐渐向外扩展，这恰恰反映了当含水层无外界补给时抽水完全消耗的是储存量。

3）从式（4-1）或式（4-4）中看出，同一时刻，r相同的地点其水位降低（s）相同。这说明抽水后形成的等水头线是一些以井轴为圆心的同心圆。当u=0.05时，由式（4-4）得方程：

地下水动力学

2.泰斯公式反映的水头下降速度的变化规律

将式（4-1）对t求导数得：

地下水动力学

式（4-6）表明：①当t不变时r↑，u↑，e-u↓，

↓；②当r一定时t↑，u→0，e-u→1，

↓。也就是抽水初期，随r增加，u增加，e-u减小。因此，近处水头下降速度大，而远处水头下降速度

小。而当r一定时，由式（4-7）可看出，不同时刻的

（水头下降速度）由

和e-u两个因素起作用，所以水头下降速度不是t的单调函数，如图4-4所示。

图4-4 承压含水层中的降深

s-t曲线不是沿同一斜率变化而是存在拐点，拐点的位置可利用

求得。

由上式知

，拐点出现的时间为：

地下水动力学

式（4-8）表明不同断面处拐点出现的时间不同。

图4-4表明，每个断面的水头下降速度初期由小到最大，然后由大变小最后趋于等速下降。

拐点处的降深（si）计算：将式（4-8）代入式（4-1）得：

地下水动力学

由式（4-9）可看出，si与r无关，说明任一断面都经历着一个相同过程，当s=si时，出现最大降速，即

地下水动力学

当抽水时间足够长时，

（即u＜0.0，e-u=0.99≈1）时，式（4-7）可改为：

地下水动力学

即当抽水时间足够长时下降速度与r无关，在一定的范围内产生的降幅大致相同。

3.泰斯公式所表达的流量与渗流速度变化规律

（1）流量变化规律

将式（4-1）对r求导数得：

地下水动力学

地下水动力学

r处过水断面流量为：

地下水动力学

将式（4-11）代入得：

地下水动力学

式（4-12）表明，通常抽水井的流量（Q）＞r断面处的流量Qr，当r→0时，Q=Qr

从式（4-12）看出，当r不同时其流量（Qr）也不同，r减小流量增加，这与稳定流不同。它反映出地下水流向抽水井的过程中得到储存量的补给。

当

时，Q=Qr

（2）渗流速度变化规律

由式（4-11）可知抽水时地下水的渗流速度（V）为：

地下水动力学

式中负号表明速度与r的正方向相反。

抽水达稳定时，上式中

为抽水达到稳定时的渗透速度。随着时间增加u值逐渐趋于1。

地下水动力学

（3）相对稳定（似稳定）状态（当u=0.01时）

这时r处稳定出现的时间为：

地下水动力学

4.关于“影响半径”的问题

泰斯公式不包含“影响半径”（R）的概念。在无限延伸的无越流补给的承压含水层中是不存在“影响半径”的。

1）将式（4-4）改为：

，与裘布依公式相比，可将影响半径定义为：

地下水动力学

2）经长时间抽水后，当

时，由式（4-4）可得某时刻与r1和r2对应的s1和s2：

地下水动力学

将两式相减得

，与式（3-6）所示稳定流的公式相同。

3）当r1=rw，r2=r时得式（3-5），说明在无越流补给且侧向无限延伸的承压含水层中抽水时随抽水时间的延长，在井的周围地下水侧压水头变化趋于缓慢，接近稳定状态，其降落漏斗形态与稳定流时相同，但这并不意味着水头降落已达稳定。

5.关于假设井半径rw→0和天然水力坡度为零的问题

1）关于rw→0的问题：当rw→0时井可视为汇点或源点，不必考虑井筒中的水量。由式（4-11）看出，

，将两端同取极限，并记为limrw→0。

，这与单井定流量承压完整井流的数学模型中的内边界条件相一致。

2）关于J=0的问题：在推导泰斯公式时曾假设抽水前的地下水位为水平的，而事实上J值很小，在平原地区，J=n/1000～n/10000。因此泰斯公式是可信的。

定流量抽水时的泰斯公式

（一）假设条件

1）含水层为均质各向同性，等厚，侧向无限延伸，产状水平；

2）抽水前天然状态下水力坡度为零；

3）完整井定流量抽水井径无穷小；

4）含水层中地下水运动服从达西定律；

5）水头降低引起地下水从储存量中的释放为瞬时完成。

基于上述假设，抽水形成的降落漏斗以井轴（Z轴）为对称轴，坐标点放在含水层的底板与井轴相交处，漏斗如图4-1所示。

图4-1 承压水完整井流

（二）单井定流量承压完整井流的数学模型

地下水动力学

式中：s=H0-H。

（三）数学模型的解析解（附录2）

地下水动力学

地下水动力学

式中：s为抽水影响范围内任一点任一时刻的水位降低；Q为井中抽水稳定流量；T为导水系数；t为自抽水开始到计算时刻的时间；r为计算点到井轴的距离；μ*为含水层储水系数；W（u）为泰斯井函数，已制成表（表4-1），只要求出u，即可从表4-1中查得W（u）。公式（4-1）为无补给的承压水完整井定流量非稳定流计算公式（泰斯公式）。

表4-1 W（u）数值表

续表

（据Wenzel，1942）

泰斯密有谁用过

摇滚夏令营里面的泰斯和女主角叫什么？

Meaghan Jette Martin

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女主角~米琪Demi Lovato